使用的教材及参考资料包括但不限于丘维声《简明线性代数》、同济《线性代数》第六版。
线性方程组的基本理论
每个方程中，左端都是未知量 \(x_1, x_2, \dots\) 的一次齐次式，右端是常数，像这样的方程组称为线性方程组.
含 \(n\) 个未知量的线性方程组称为 \(\boldsymbol{n}\) 元线性方程组，它的一般形式是
\[ \begin {equation*} \left\{ \begin {array}{c} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \cdots & + & a_{1n} x_{n} & = & b_{1}, \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \cdots & + & a_{2n} x_{n} & = & b_{2}, \\ \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots & & \vdots \\ a_{s1} x_{1} & + & a_{s2} x_{2} & + & \cdots & + & a_{sn} x_{n} & = & b_{s}. \end {array} \right. \end {equation*} \]
常数项全为 \(0\) 的线性方程组称为齐次线性方程组. 任何一个齐次线性方程组都有零解，如果一个齐次线性方程组除了零解，还有其他的解，则称其他的解为非零解. 常数项不全为 \(0\) 的线性方程组称为非齐次线性方程组.
定义 1 由 \(s \cdot m\) 个数排成 \(s\) 行、\(m\) 列的一张表称为一个 \(s \times m\) 矩阵，其中的每一个数称为这个矩阵的一个元素，第 \(i\) 行与第 \(j\) 列交叉位置的元素称为矩阵的 \(\boldsymbol{(i,j)}\) 元.
对于一个线性方程组，可以只写出它的系数和常数项，并且把它们按照原来的次序排成一个矩阵，这个矩阵称为线性方程组的增广矩阵. 而只列出系数的矩阵称为方程组的系数矩阵. 例如，线性方程组 (1) 的增广矩阵和系数矩阵依次是：
\[ \begin {bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} & b_s \\ \end {bmatrix} \]
\[ \begin {bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} \\ \end {bmatrix} \]
元素全为 \(0\) 的矩阵称为零矩阵，简记作 \(\boldsymbol{0}\). 如果一个矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 行数与列数相等，则称它为方阵. \(m\) 行 \(m\) 列的方阵也称为 \(\boldsymbol{m}\) 阶矩阵.
矩阵的初等行变换有三种：
- 用一个非零数乘某一行；
- 互换两行的位置；
- 把一行的倍数加到另一行上.
它们分别对应线性方程组的三种初等变换：
- 用一个非零数乘某一个方程；
- 互换两个方程的位置；
- 把一个方程的倍数加到另一个方程上.
显然初等变换 2 不改变原方程组，而由于等式的替代性，初等变换 1 产生的新方程与原方程等价。初等变换 3 等于是先施行初等变换 1，产生一个中间方程，再把中间方程与另一方程相加，同样由等式的替代性知，新方程与原方程等价。因此，线性方程组施行初等变换后的方程组与原方程组等价，即初等变换不改变方程组的解集。
具有如下特点的矩阵称为行阶梯形矩阵：
- 元素全为 \(0\) 的行（称为零行）在非零行下方（如有零行）；
- 非零行从左边数起第一个不为 \(0\) 的元素（称为主元），它们的列指标随行指标的递增而严格增大.
具有如下特点的矩阵称为简化行阶梯形矩阵：
- 它是行阶梯形矩阵；
- 每个非零行的主元都是 \(1\)；
- 每个主元所在列的其余元素都是 \(0\).
可以证明，任何一个矩阵都能经过一系列初等行变换化成行阶梯形矩阵，并且能进一步用初等行变换化成简化行阶梯形矩阵.
定理 1 \(n\) 元线性方程组的解的情况只有三种可能：无解、有惟一解、有无穷多个解. 把 \(n\) 元线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵，如果相应的阶梯形方程组出现“\(0 = d\)（\(d\) 为非零数）”这样的方程，则原方程组无解；否则，有解. 当有解时，如果阶梯形矩阵的非零行个数 \(r\) 等于未知量个数 \(n\)，则原方程组有惟一解；如果非零行个数 \(r < n\)，则原方程组有无穷多个解.
推论 2 \(n\) 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：其系数矩阵经过初等行变换化为阶梯形矩阵后，非零行个数 \(r < n\).
推论 3 \(n\) 元齐次线性方程组如果方程的个数 \(s < n\)，则它一定有非零解.
证 该方程组的系数矩阵有 \(s\) 行，对其施行初等行变换化为阶梯形矩阵后，非零行个数 \(r \leq s < n\)，由推论 2 知该方程组有非零解. \(\Box\)
数域
定义 1 设 \(K\) 是复数集的一个子集，如果 \(K\) 满足：
（1）\(0, 1 \in K\)；（加法单位元、乘法单位元）
（2）对任意的 \(a, b \in K\)，都有 \(a \pm b, ab \in K\)，并且当 \(b \neq 0\) 时有 \(\frac{a}{b} \in K\)，（对四则运算封闭）
则称 \(K\) 为一个数域.
命题 1 任一数域都包含有理数域.
证 设 \(K\) 为一数域，则有 \(0, 1 \in K\)，且
\[2 = 1 + 1 \in K, 3 = 1 + 2 \in K, \dots, n = 1 + (n - 1) \in K，\]
即 \(\mathbb{N} \subset K\)，又
\[-1 = 0 - 1 \in K, -2 = 0 - 2 \in K, \dots, -n = 0 - n \in K，\]
从而 \(\mathbb{Z} \subset K\)，于是任意分数
\[\frac{a}{b} \in K (b \neq 0)，\]
因此，\(\mathbb{Q} \subset K\). \(\Box\)
命题 2 复数域包含所有的数域.
