做题顺便试下 Mathpix。书是第 2 版，不同版本习题可能不同。
（以后不随便挖坑了… 如果不一次把文章写完过后就会忘记思路==）
3.1
证明每个从一维向量空间到其自身的线性映射都是乘以某个标量. 准确地说，证明：如果 \(\dim V = 1,\,T \in \mathcal{L}(V,V)\)，那么有 \(a \in \mathbb{F}\) 使得对所有 \(\boldsymbol{v} \in V\) 都有 \(T \boldsymbol{v} = a \boldsymbol{v}\).
证明 因为 \(\dim V = 1\)，所以存在 \(V\) 的一个基 \(\boldsymbol{u}\) 使得对所有 \(\boldsymbol{v} \in V\) 都有 \(\boldsymbol{v} = b \boldsymbol{u}, \, b \in \mathbb{F}\). 特别地，对 \(T \boldsymbol{u} \in V\) 也有 \(T \boldsymbol{u} = b_0 \boldsymbol{u}, \, b_0 \in \mathbb{F}\)，于是对所有 \(\boldsymbol{v} \in V\)， \[ T \boldsymbol{v} = Tb \boldsymbol{u} = bT \boldsymbol{u} = bb_0 \boldsymbol{u}. \] 令 \(a = bb_0\) 即为所证. \(\Box\)
3.2
给出一个非线性函数 \(f: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}\) 使得对所有 \(a \in \mathbf{R}\) 和所有 \(\boldsymbol{v} \in \mathbf{R}^{2}\) 都有 \[ f(a \boldsymbol{v})=a f(\boldsymbol{v}). \]
解 \(f(x, y) = \frac{y^2}{x}\) 是满足题设要求的一个非线性函数，因为对所有 \(a \in \mathbf{R}\) 和所有 \(\boldsymbol{v} \in \mathbf{R}^{2}\)， \[ \begin {align*} f(a \boldsymbol{v}) & = f(ax, ay) \\ & = \frac{(ay)^2}{ax} \\ & = \frac{ay^2}{x} \\ & = a f(x, y) \\ & = a f(\boldsymbol{v}), \end {align*} \] 但是，存在 \(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in \mathbf{R}^{2}\) 使得 \[ \begin {align*} f(\boldsymbol{u}) + f(\boldsymbol{v}) & = f(w, z) + f(x, y) \\ & = \frac{z^2}{w} + \frac{y^2}{x} \\ & \neq \frac{(z+y)^2}{w+x} \\ & = f(w+x, z+y) \\ & = f(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}). \end {align*} \] 这题主要想说明的是，加性和齐性并不是等价的。
3.3
设 \(V\) 是有限维的. 证明 \(V\) 的子空间上的线性映射可以扩张成 \(V\) 上的线性映射. 也就是说，证明：如果 \(U\) 是 \(V\) 的子空间，\(S \in \mathcal{L}(U, W)\)，那么存在 \(T \in \mathcal{L}(V, W)\)，使得对所有 \(\boldsymbol{u} \in U\) 都有 \(T \boldsymbol{u}=S \boldsymbol{u}\).
证明 取 \(U\) 的一组基，扩充成 \(V\) 的一组基，然后定义从 \(V\) 到 \(U\) 的线性变换 \(Q\)，对 \(U, V\) 的基中共同的向量系数取 1，\(V\) 独有的向量系数取 0. 那么线性变换 \(SQ\) 即为所求的 \(T\). 具体证明略.（懒得写）
3.5
设 \(T \in \mathcal{L}(V, W)\) 是单的，并且 \(\left(\boldsymbol{v}_{1}, \cdots, \boldsymbol{v}_{n}\right)\) 在 \(V\) 中线性无关. 证明 \(\left(T \boldsymbol{v}_{1}, \cdots, T \boldsymbol{v}_{n}\right)\) 在 \(W\) 中线性无关.
证明 因为 \(T\) 是单的，所以 \(\operatorname{null} T=\{\mathbf{0}\}\). 因为 \(\left(\boldsymbol{v}_{1}, \cdots, \boldsymbol{v}_{n}\right)\) 线性无关，所以有 \[ \begin {align} & a_1 \boldsymbol{v}_{1} + \cdots + a_n \boldsymbol{v}_{n} = \mathbf{0} \\ \implies & a_1 = \cdots = a_n = 0. \end {align} \] 将 \(T\) 作用于上述第一行式子左右两端，有 \[ \begin {align} & T a_1 \boldsymbol{v}_{1} + \cdots + T a_n \boldsymbol{v}_{n} = T \mathbf{0} \\ \implies & a_1 T \boldsymbol{v}_{1} + \cdots + a_n T \boldsymbol{v}_{n} = \mathbf{0}. \end {align} \] 因为 \(a_1 = \cdots = a_n = 0\)，所以 \(\left(T \boldsymbol{v}_{1}, \cdots, T \boldsymbol{v}_{n}\right)\) 线性无关. \(\Box\)
